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辅助角公式例题 专题18 三角恒等变换

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辅助角公式例题 专题18 三角恒等变换

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专题18 三角恒等变换 【考点预测】知识点一.两角和与差的正余弦与正切①; ②; ③;知识点二.二倍角公式①; ②; ③; 知识点三:降次(幂)公式知识点四:半角公式知识点五.辅助角公式(其中).【方法技巧与总结】1.两角和与差正切公式变形;.2.降幂公式与升幂公式;.3.其他常用变式.3. 拆分角问题:①;;②;③;④;⑤. 注意 特殊的角也看成已知角,如.【题型归纳目录】题型一:两角和与差公式的证明题型二:给式求值题型三:给值求值题型四:给值求角题型五:正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一:两角和与差公式的证明例1.(2022·山西省长治市第二中学校高一期末)(1)试证明差角的余弦公式:;(2)利用公式推导:①和角的余弦公式,正弦公式,正切公式;②倍角公式,,.【答案】(1)证明见解析;(2)①答案见解析;②答案见解析【解析】【分析】在单位圆里面证明,然后根据诱导公式即可证明和,利用正弦余弦和正切的关系即可证明;用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令.如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点,,.连接.若把扇形绕着点旋转角辅助角公式例题,则点分別与点重合.根据圆的旋转对称性可知,与重合,从而,=,∴.根据两点间的距离公式,得:,化简得:当时,上式仍然成立.∴,对于任意角有:.(2)①公式的推导:.公式的推导:正切公式的推导:②公式的推导:由①知辅助角公式例题,.公式的推导:由①知,.公式的推导:由①知卡盟,.例2.(2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试(文))已知以下四个式子的值都等于同一个常数;;;.(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,推广为三角恒等式,并证明你的结论.【答案】(1)选第四个式子,;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子,由即可求三角函数式的值;(2)由题意,设一个角为,另一个角为,应用两角差的余弦公式展开三角函数,由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】(1)由第四个式子:(2)证明:【点睛】本题考查了三角函数,利用特殊角的函数值求三角函

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